Интегральное исчисление. Исторический очерк

Фрагмент работы:
С 70-х годов XVIII века решение задач аналитической механики, физики и других дисциплин потребовало значительное развитие понятия определенного интеграла. Особое значение приобретают двойные и тройные интегралы (Эйлер, Лагранж, Лаплас и др.).
Это было время, когда великие идеи Ньютона и Лейбница были опубликованы сравнительно недавно и современный математический анализ только создавался. Мощные методы, которые принесли с собой эти идеи, находили применение во всех отраслях точного знания. Применение это шло рука об руку с развитием самого анализа, часто указывая пути и направления, по которым должно развиваться новое исчисление. Это была, пожалуй, единственная по своей интенсивности эпоха математического творчества, и Эйлер был один из немногих по своей продуктивности творцов. Его "Введение в анализ бесконечно малых", "Основания дифференциального исчисления" и "Основания интегрального исчисления" были первыми трактатами, в которых уже обширный, но разрозненный материал нового анализа был объединен в цельную науку. В них был выработан тот скелет современного анализа, который сохранился и до нашего времени.
Разработка приемов вычисления двойных и тройных интегралов показала, что вычислять эти интегралы так, как вычисляли обычный определенный интеграл - при помощи неопределенного, очень трудно или даже невозможно. Поэтому математики вынуждены были сохранять концепцию Ньютона только на словах, а на деле, при решении задач точных наук, стали на путь Лейбница. Они вычисляли соответствующие интегральные суммы (в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах) и находили их пределы.
Короче говоря, разработка способов вычисления новых видов определенного интеграла показала, что обыкновенный, двойной и т. д. определенный интегралы должны быть обоснованы сами по себе независимо от понятия неопределенного интеграла. Но каждое слагаемое любой интегральной суммы является бесконечно малой величиной. Тем самым не только ставился вопрос о легализации ранее “изгоняемого” понятия бесконечно малого, но и о раскрытии его реального содержания и о соответствующем его использовании. Как уже указывалось, чтобы всё это сделать надо было преодолеть - обобщить, развить традиционное (Эйлерово) толкование функции и понятия предела.

Литература:
1. Большакова А. А. Три кризиса в развитии математики. Дипломная работа; Астрахань: АГПИ, 1996.
2. Детская энциклопедия для среднего и старшего возраста. Т.2; М.: Просвещение, 1965.
3. Математическая энциклопедия. Ред. Виноградова. Т.2; М.: Сов. Энциклопедия, 1979.
4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.1; М.: Наука, 1968.